常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。方程 =0用符号表达式D2y=0来表示。独立变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。例如，一阶方程dy/dx=1+y2的通解为：

>> dsolve( ' Dy=1+y^2 ' )  %  find the general solution

ans=

       -tan(-x+C1)

其中，C1是积分常数。求解初值y(0)=1的同一个方程就可产生：

>>  dsolve(' Dy=1+y^2 '，' y(0)=1 ')  %  add an initial condition

y=

       tan(x+1/4*pi)

独立变量可用如下形式指定：

>>  dsolve(' Dy=1+y^2 '，' y(0)=1 '，' v ')  %  find solution to dy/dv

ans=

       tan(v+1/4*pi)

让我们举一个二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件：

  =cos(2x)-y  (0)=0  y(0)=1

>> y=dsolve(' D2y=cos(2*x)-y '，' Dy(0)=0 '，' y(0)=1 ')

y=

       -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x)

>> y=simple(y)  %  y looks like it can be simplified

y=

       -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)

通常，要求解的微分方程含有一阶以上的项，并以下述的形式表示：

-2 -3y=0

通解为：

>> y=solve( 'D2y-2Dy-3*y=0 ')

y=

       C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)

加上初始条件：y(0)=0和y(1)=1可得到：

>> y=solve( ' D2y-2Dy-3*y=0 ' ， ' y(0)=0，y(1)=1 ' )

y=

       1/(exp(-1)-exp(3))*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3))*exp(3*x)

>> y=simple(y)  %  this looks like a candidate for simplification

y=

       -(exp(-x)-exp(3*x))/(exp(3)-exp(-1))

>> pretty(y)  %   pretty it up

           exp(-x)-exp(3 x)

       - ---------------------

          exp(3) -exp(-1)

现在来绘制感兴趣的区域内的结果。

>> ezplot(y，[-6 2])

图22.3   符号函数y=-(exp(-x)-exp(3*x))/(exp(3)-exp(-1))  (-6≤x≤2)

微分方程组

函数dsolve也可同时处理若干个微分方程式，下面有两个线性一阶方程。

              =3f+4g            =-4f+3g

通解为：

>> [f，g]=dsolve( ' Df=3*f+4*g ' ， ' Dg=-4*f+3*g ' )

f=

       C1*exp(3*x)*sin(4*x)+C2*exp(3*x)*cos(4*x)

g=

       -C2*exp(3*x)*sin(4*x)+C1*exp(3*x)*cos(4*x)

加上初始条件：f(0)=0和g(0)=1，我们可以得到：

>> [f，g]=dsolve( ' Df=3*f+4*g ' ， ' Dg=-4*f+3*g ' ， ' f(0)=0，g(0)=1 ' )

f=

  exp(3*x)*sin(4*x)

g=

  exp(3*x)*cos(4*x)