第二节　X²检验

　　X²（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

　　一、两个率的比较

　　（一）X²检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X²检验。其基本步骤如下：

　　1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

　　将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

　　2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H₀：π₁=π₂。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

　　上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H₀被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H₁。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H₁：π₁≠π₂

　　因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H₀都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

　　3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　计算理论频数也可用下式（3.4）

　　T_RC=n_Rn_C/N (3.4)

　　式中，T_RC为R行与C列相交格子的理论频数，n_R为与计算的理论频数同行的合计数，n_C为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

　　例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T_1１）为

　　T_1１＝ 75×70/200=26.25

　　用两种方法计算，结果是相同的。

　　4．计算χ²值，计算χ²值的基本公式为：

　　X²=∑（A-T）²/t 　（3.5）

　　式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

　　将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ²值。此例χ²=4.929。

　　从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ²值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H₀，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ²值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ²值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ²值表（附表1），查χ²值表前先要定自由度。

　　5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

　　ν=（R-1）（C-1） （3.6）

　　式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

　　四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作结论　根据自由度查χ²值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ²值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ²值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ²值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值与概率P呈相反的关系。χ²检验的常用界值为：

　　χ²<χ²_0.05（）P>0.05 在α=0.05水准处接受H₀，差别不显著

　　χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01 在α=0.05水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

　　χ²≥χ²_0.01（）P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

　　这里α是预定的检验水准。χ²_0.05（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ² 值，简称5%点，χ²_0.01（）是与P=0.01相对应的χ² 值，简称1%点。

　　当ν=1时，χ²_0.05（1）3.84，χ²_0.01（1）=6.63。本例自由度为1，求得χ²=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ²_0.05（1）<χ²<χ²_0.01（1）。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ²=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

　　在α=0.05水准处拒绝H₀，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

　　下面将实例的检验步骤集中列出。

　　例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

　　检验步骤如下：

　　1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

　　2．H₀：两疗法的总体病死率相同，即_π1=_π2

　　H₁：两疗法的总体病死率不同，即_π1≠_π2

　　α=0.05

　　3．求理论频数

　　抗凝血组：

　　死亡人数为75×35.0%=26.25人

　　存活人数为 75-26.25=48.75人

　　对照组：

　　死亡人数为125×35.0%=43.75人

　　存活人数为 125-43.75=81.25人

　　把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　4．求χ²值 将表3.6里的数值代入式（3.5）得，

　　5．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（2-1）（2-1）=1，χ² _0.05（1）=3.84,χ² _0.01（1）=6.63,

　　本例χ² =4.929,χ² _0.05（1）<χ² <χ² _0.01（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

　　上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X²检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根据自由度为1时的χ²分布推断，从同一总体内抽样，出现χ²值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。