MATLAB多项式求根与多项式操作

时间:2026-04-05 12:00 来源:Internet 作者:admin 点击:次

在科学研究和工程应用中，求解多项式的根（即使多项式为零的变量值）是一个常见问题。MATLAB提供了强大的多项式处理工具，能够高效地完成多项式求根、根据根构造多项式以及其他相关操作。

一、MATLAB中的多项式表示

在MATLAB中，多项式用一个行向量表示，其系数按降幂顺序排列。

示例：多项式输入

对于多项式：
$x^{4} - 12 x^{3} + 0 x^{2} + 25 x + 116$

在MATLAB中输入如下：

>> p = [1 -12 0 25 116]

输出：

p =
     1   -12     0    25   116

重要提示：必须包含零系数项（如上例中的 $0x^2$）。MATLAB无法自动识别缺失的项，除非明确用零表示。

二、多项式求根：roots函数

使用 roots 函数可以求出多项式的所有根。

>> r = roots(p)

输出：

r =
   11.7473         
    2.7028         
   -1.2251 + 1.4672i
   -1.2251 - 1.4672i

结果说明：

该四次多项式有两个实根（11.7473 和 2.7028）
有一对共轭复根（-1.2251 ± 1.4672i）

三、由根构造多项式：poly函数

在MATLAB中，多项式用行向量表示，根用列向量表示。给定多项式的根，可以使用 poly 函数反推出原多项式。

>> pp = poly(r)

输出：

pp =
   1.0e+002 *
   Columns 1 through 4
    0.0100   -0.1200    0.0000    0.2500
   Column 5
    1.1600 + 0.0000i

处理复数误差

当用根重组多项式时，由于截断误差，结果可能产生微小的虚部。这是正常现象，因为MATLAB在复数运算中会产生极小的数值误差。

解决方法：使用 real 函数提取实部，消除虚假的虚部。

>> pp = real(pp)

输出：

pp =
    1.0000  -12.0000    0.0000   25.0000  116.0000

四、多项式操作函数汇总

MATLAB提供了丰富的多项式操作函数：

函数	功能	示例
`roots(p)`	求多项式的根	`roots([1 -12 0 25 116])`
`poly(r)`	由根构造多项式	`poly([11.7473; 2.7028; -1.2251+1.4672i; -1.2251-1.4672i])`
`polyval(p, x)`	计算多项式在给定点的值	`polyval([1 -12 0 25 116], 2)`
`polyvalm(p, A)`	计算多项式在矩阵参数下的值	`polyvalm([1 -12 0 25 116], A)`
`conv(p1, p2)`	多项式乘法	`conv([1 2], [1 3])` → $x^2+5x+6$
`deconv(p1, p2)`	多项式除法	`[q,r] = deconv([1 5 6], [1 2])`
`polyder(p)`	多项式求导	`polyder([1 -12 0 25 116])`
`polyint(p, k)`	多项式积分	`polyint([1 -12 0 25 116], 0)`
`polyfit(x, y, n)`	多项式曲线拟合	`polyfit(x, y, 2)`
`residue(b, a)`	部分分式展开	`[r,p,k] = residue([2 1], [1 3 2])`

五、完整示例代码

% 定义多项式系数（降幂排列）
p = [1 -12 0 25 116];

% 显示多项式表达式
disp('多项式：');
poly2str(p, 'x')

% 求多项式的根
r = roots(p);
disp('多项式的根：');
disp(r);

% 由根重新构造多项式
pp = poly(r);
pp = real(pp);  % 消除虚部误差
disp('重构的多项式系数：');
disp(pp);

% 验证：计算多项式在x=0处的值
val = polyval(p, 0);
disp(['p(0) = ', num2str(val)]);

% 绘制多项式曲线
x = -15:0.1:15;
y = polyval(p, x);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(real(r), zeros(size(r)), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('p(x)');
title('多项式曲线与根的位置');
legend('p(x)', '根');
hold off;

六、注意事项

系数顺序：多项式系数必须按降幂排列，从最高次项到常数项。
零系数不可省略：缺失的幂次必须用0填充。
复数处理：MATLAB无隙处理复数运算，但由根重构多项式时可能产生微小虚部，用 real 函数消除。
数值精度：高阶多项式可能存在数值不稳定问题，建议对结果进行验证。

(责任编辑：泉水)

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