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常微分方程（ODE）有时很难求解，但 MATLAB 提供了功能强大的符号计算工具来帮助我们。dsolve 函数专门用于计算常微分方程的符号解。

由于是求解微分方程，我们需要一种方法在表达式中表示导数。dsolve 的语法与其他大部分 MATLAB 函数有所不同：它使用字母 D 来表示求导。D2、D3 等表示二阶、三阶等重复求导。任何 D 后面紧跟的字母代表因变量。

例如，方程 $y'' = 0$ 可以用符号表达式 D2y=0 来表示。如果不特别指定，独立变量（自变量）可以手动指定，或者由系统 symvar 规则选定为默认变量（通常是 t 或 x）。

1. 一阶常微分方程

我们以一阶方程 $\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ 为例，求其通解：

>> dsolve('Dy = 1 + y^2')  % 寻找通解

ans =
       -tan(-x + C1)

注：其中 C1 是积分常数。

如果我们要为同一个方程添加初始条件 $y(0) = 1$，可以这样写：

>> dsolve('Dy = 1 + y^2', 'y(0) = 1')  % 添加初始条件

ans =
       tan(x + 1/4*pi)

如果你想指定自变量（例如将自变量指定为 v），可以采用如下形式：

>> dsolve('Dy = 1 + y^2', 'y(0) = 1', 'v')  % 求解 dy/dv

ans =
       tan(v + 1/4*pi)

2. 二阶常微分方程

让我们来看一个带有两个初始条件的二阶微分方程示例：

初始条件：$y'(0) = 0, y(0) = 1$

在 MATLAB 中求解：

>> y = dsolve('D2y = cos(2*x) - y', 'Dy(0) = 0', 'y(0) = 1')

y =
       -2/3*cos(x)^2 + 1/3 + 4/3*cos(x)

我们可以使用 simple（或较新版本中的 simplify）来化简结果：

>> y = simple(y)  % 化简表达式

y =
       -1/3*cos(2*x) + 4/3*cos(x)

包含一阶以上项的方程

通常，我们要解的微分方程会包含多阶导数项，例如：

求该方程的通解（注：原文此处存在笔误使用了 solve，求解微分方程应始终使用 dsolve）：

>> y = dsolve('D2y - 2*Dy - 3*y = 0')

y =
       C1*exp(-x) + C2*exp(3*x)

加上初始条件 $y(0) = 0$ 和 $y(1) = 1$：

>> y = dsolve('D2y - 2*Dy - 3*y = 0', 'y(0) = 0', 'y(1) = 1')

y =
       1/(exp(-1) - exp(3))*exp(-x) - 1/(exp(-1) - exp(3))*exp(3*x)

>> y = simple(y)  % 化简结果

y =
       -(exp(-x) - exp(3*x))/(exp(3) - exp(-1))

为了让输出结果更符合人类的数学阅读习惯，可以使用 pretty 函数：

>> pretty(y)  % 美化输出格式

            exp(-x) - exp(3 x)
       - ---------------------
          exp(3) - exp(-1)

3. 绘制结果图像

得到符号解后，我们通常需要在感兴趣的区域内绘制结果。可以使用 ezplot 快速绘图：

>> ezplot(y, [-6, 2])

(图 22.3 符号函数 $y = -\frac{e^{-x} - e^{3x}}{e^3 - e^{-1}}$ 在 $-6 \le x \le 2$ 区间的图像)

4. 求解微分方程组

dsolve 函数也可以同时处理由多个微分方程组成的方程组。以下面两个线性一阶方程构成的系统为例：

求通解的代码如下：

>> [f, g] = dsolve('Df = 3*f + 4*g', 'Dg = -4*f + 3*g')

f =
       C1*exp(3*x)*sin(4*x) + C2*exp(3*x)*cos(4*x)
g =
       -C2*exp(3*x)*sin(4*x) + C1*exp(3*x)*cos(4*x)

加上初始条件 $f(0) = 0$ 和 $g(0) = 1$，我们可以得到特解：

>> [f, g] = dsolve('Df = 3*f + 4*g', 'Dg = -4*f + 3*g', 'f(0) = 0', 'g(0) = 1')

f =
  exp(3*x)*sin(4*x)

g =
  exp(3*x)*cos(4*x)

? 编者提示（关于 MATLAB 版本更新）：

• 在较新的 MATLAB 版本中，符号数学工具箱中的 simple 函数已经被整合并推荐使用 simplify 函数替代，以获得更好的化简效果。

• 同样地，传统的绘图函数 ezplot 在新版本中已不被推荐，建议使用更为强大且灵活的 fplot 来绘制符号表达式的图像。