概述

本文主要介绍基于MATLAB控制系统的频率特性分析方法、频域稳定性判据以及开环频域性能分析，并获得频率响应曲线等。通过本章的学习，可以利用MATLAB对各种复杂控制系统进行频率分析，以此获得系统稳定性及其它性能指标。

1 频率特性基本概念

如果将控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的，则各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号响应的总和。

频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。

频率响应法：利用频率响应思想研究控制系统稳定性和动态特性的方法。

频率响应法的优点

1. 物理意义明确

2. 可以利用试验方法求出系统的数学模型，易于研究机理复杂或不明的系统，也适用于某些非线性系统

3. 采用作图方法，非常直观

1.1 频率特性函数的定义

对于稳定的线性系统或环节，在正弦输入作用下，其输出的稳态分量是与输入信号相同频率的正弦函数。输出稳态分量与输入正弦信号的复数比，称为该系统或环节的频率特性函数，简称为频率特性：

$G(j\omega )=\frac{Y(j\omega )}{R(j\omega )}$

对于不稳定系统：在正弦输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同频率的正弦函数分量和输入正弦信号的复数比。

对于非周期函数：系统或环节的频率特性函数，是其输出信号的傅里叶变换象函数与输入信号的傅里叶变换象函数之比。

1.2 频率特性函数的表示方法

频率特性函数可以由微分方程的傅里叶变换求得，也可以由传递函数求得。当传递函数 $G(s)$ 的复数自变量 $s$ 沿复平面的虚轴变化时，就得到频率特性函数：

$G(j\omega )=G(s){\mid }_{s=j\omega }$

所以频率特性是传递函数的特殊形式。

代数式

$G(j\omega )=R(\omega )+jI(\omega )$

其中 $R(\omega)$ 和 $I(\omega)$ 称为频率特性函数 $G(j\omega)$ 的实频特性和虚频特性。

指数式

$G(j\omega )=A(\omega )e^{\mathrm{\Phi }(\omega )}$

其中：

• 幅频特性函数：$A(\omega) = |G(j\omega)|$

• 相频特性函数：$\Phi(\omega) = \arg G(j\omega)$

2 频率响应曲线

系统的频率响应可以用复数形式表示为 $G(j\omega)$，常用的频率响应表示方法是图形表示法：

2.1 伯德图（Bode图）

伯德图又称对数频率特性图，由对数幅频特性图和相频特性图组成。

• 横坐标：角频率 $\omega$，按常用对数 $\lg \omega$ 分度

• 纵坐标（幅频）：$L(\omega) = 20\lg A(\omega)$，单位为分贝（dB），线性分度

• 纵坐标（相频）：$\varphi(\omega)$，单位为度，线性分度

开环对数频率特性图的绘制步骤

1. 将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数形式

2. 求出各转角频率（交接频率），从小到大排列为 $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots$，并标注在 $\omega$ 轴上

3. 绘制低频渐近线（$\omega_1$ 左边的部分）：斜率为 $-20r$ dB/decade（$r$ 为系统开环频率特性所含 $1/j\omega$ 因子的个数），该直线或其延长线应通过点 $(1, 20\lg K)$

4. 各转角频率间的渐近线均为直线，自最小转角频率 $\omega_1$ 起，斜率发生变化，变化取决于各转角频率对应的典型环节

例1：绘制一阶惯性环节 $G(s) = 1/(4s+1)$ 的伯德图

num = 1;
den = [4 1];
G = tf(num, den);
bode(G, 'r')

2.2 奈魁斯特图（Nyquist图）

奈魁斯特图又称为极坐标图或幅相频率特性图。频率特性函数 $G(j\omega)$ 的奈魁斯特图是角频率 $\omega$ 由 $0$ 变化到 $\infty$ 时，频率特性函数在复平面上的图像。

• 以 $\omega$ 为参变量，以复平面上的向量表示 $G(j\omega)$

• 向量的幅值为 $|G(j\omega)|$，相角为 $\arg G(j\omega)$

• 向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性 $R(\omega)$ 和虚频特性 $I(\omega)$

开环频率特性函数奈魁斯特图的绘制步骤

1. 将系统的开环频率特性函数 $G_0(j\omega)$ 写成 $G(j\omega) = A(\omega)e^{\Phi(\omega)}$

2. 确定奈魁斯特图的起点（$\omega = 0^+$）和终点（$\omega \to +\infty$）：

   • 起点与系统所含积分环节个数 $\gamma$ 有关

   • 终点与系统开环传递函数分母和分子多项式阶次的差有关

3. 确定奈魁斯特图与坐标轴的交点

4. 根据以上分析并结合开环频率特性的变化趋势绘制奈魁斯特图

例2：绘制一阶惯性环节 $G(s) = 3/(5s+1)$ 的奈魁斯特图

G = tf(3, [5 1]);
nyquist(G);
hold on;
set(G, 'inputdelay', 5);
nyquist(G);
hold on;
set(G, 'inputdelay', 10);
nyquist(G);
hold on;
title('Nyquist图');

2.3 尼柯尔斯图（Nichols图）

尼科尔斯图又称为对数幅频率特性图，以开环频率特性函数的对数幅值为纵坐标，以相角值为横坐标，以角频率为参变量绘制的频率特性图。

• 纵坐标：$20\lg|G(j\omega)|$，单位 dB，线性刻度

• 横坐标：$\angle G(j\omega)$，单位度，线性分度

• 曲线上一般标注角频率 $\omega$ 的值作为参变量

通常先画出Bode图，再根据Bode图绘制尼科尔斯图。

3 频率响应分析

时域分析中的性能指标直观反映控制系统动态响应的特征，属于直接性能指标，而系统频率特性函数的某些特征可以用作间接性能指标。

3.1 开环频率特性的性能分析

基于开环频率特性函数的性能分析指标：

在采用渐近线作图时，两者略有不同。

3.2 闭环频率特性的性能分析

基于闭环频率特性函数的常用指标：

例3：用直接计算法确定系统的谐振振幅和谐振频率

已知控制系统开环传递函数 $G_0(s) = \frac{5.5}{s^2 + 3s + 5}$，试求此系统的谐振振幅 $M_r$ 和谐振频率 $\omega_r$。

Go = tf(5.5, [1 3 5]);
[Mr, Pr, Wr] = mwr(Go)

mwr函数程序：

function [Mr, Pr, Wr] = mwr(G)
    [mag, pha, w] = bode(G);
    magn = mag(1,:);
    phase = pha(1,:);
    [M, i] = max(magn);
    Mr = 20*log10(M);
    Pr = phase(1,i);
    Wr = w(i,1);
end

运行结果：

Wr = 0.6915
Mr = 0.8714
Pr = -24.6446

结果单位：Mr 为 dB，Wr 为 rad/s，Pr 为度

例4：利用LTIView工具获得系统频率响应的谐振振幅和谐振频率

以例2中的传递函数为例，确定系统的 $M_r$ 和 $\omega_r$。

Go = tf(5.5, [1 3 5]);
ltiview

进入LTIView工具箱界面，对此系统进行分析。

小结