第二节　完全随机设计资料的方差分析

　　一、检验的一般步骤

　　1．资料　这里所要的是类似第七章第一节三、中所述的成组资料，不过现在不是两组而是多组，如下例。

　　例8.1　分泌型免疫球蛋白A（SIgA）是胃肠道分泌液、泪液等外分泌液中的主要免疫球蛋白类，某院研制了“¹²⁵I－SIgA放射免疫测定药盒”，为人体SIgA的检验提供了一种简便方法。为比较不同批号药盒检验结果是否一致，该院曾将三批号各四个药盒一一测定了某一标本得结果如下，试作方差分析。

表8.1　三个批号药盒的SIgA放射免疫测定值

　　2. 分析　从表8.1的测定结果可以看出这里有三种变异：

　　（1）从同一批号药盒的四次测定结果看，不尽相同，这是组内变异。显然它不是由于批号不同的影响，而只是由于误差（如批内各药盒的差异性和测量误差等）造成的。

　　（2）从各批测定值的均数来看，是不相同的，这是组间变异，表明各批药盒性能质量也许对测得的结果有一定影响，也包括误差的作用。

　　（3）12次测定的SIgA含量都不尽相同，有高有低，它们既可能受药盒来自不同批号的影响，也包括组内变异，因此称为总变异。

　　那么这里各批药盒测SIgA均值间的差别，只不过是抽样误差的反映呢？还是药盒制作质量不稳定，批间存在显著差别？为了得出正确的结论，可进行方差分析。方差分析的基本甲思想是：①从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量表示变异的程度；②将组间变异和组内变异进行比较，如两者相差不大，说明受批号不同的影响不大；如果两者相差较大，组间变异比组内变异大得多，说明批号不同的影响不容忽视。下面我们根据表8.1资料来计算这三种变异。

　　（1）总离均差平方和：即12个观察值各与总均数相差的平方之和，公式为

 　(8.1)

　　式中SS总即总离均差平方和，Xij表示第i组的第j个观察值，X为全部观察值的平均数，k是组数。

　　本例SS_总=72.5741-28.97²/12=2.6357

　　（2）组间离均差平方和：即取各组均数代替该组各观察值后，它们分别与总均数相差的平方之和，公式为

(8.2)

　　（3）组内离均差平方和：只要加总各组本身的离均差平方和即得，公式为

(8.3)

　　由本例计算结果可以看出，SS_组间+SS_组内=SS_总，如2.3223+0.3134=2.6357。因此，算出SS_总以后再计算SS_组间、SS_组内两者中之一个，其余一个便可通过减法求得。

　　将以上求得的几种变异各除以自由度后得均方。自由度的计算公式分别为

　　总变异 N-1 （N为各组例数之和）（ 8.4）

　　组间变异 　K-1　　　　　　　　　 　（8.5）

　　组内变异 　N-K 　　　　　　　　　 （8.6）

　　组间均方与组内均方之比为F值，

　　F＝组间均方/组内均方　　　 　（8.7）

　　本例

　　将以上数据列入下面的方差分析表可使人一目了然。

表8.2　方差分析表

　　如果求得的F值小于1或略大于1，也即组间变异与组内变异差不多，则关于不同批药盒所致影响就不值得注意，反之，若各批均数间差别甚大，组间变异比组内变异大得多，说明不能只把它看成为误差的表面，很可能不同批药盒的测定值具有差别。现F值远大于1，若等于或大于某α水准下的临界F值，便将拒绝检验假设H₀而接受备择假设H₁。

　　本例定α=0.05,查附表8F值表，F_0.05(2,9)=4.26。括弧内2为求F值时分子（也即较大均方）的自由度，9为分母的自由度，今F=33.368，远大于此临界值4.26,故P<0.05，说明不同批药盒的影响不容忽视，各批药盒测定的SIgA值相差显著。

　　二、多个均数间的两两比较

　　经方差分析（即F检验），若各组均数之间差别不显著，则到此为止，不必作进一步统计学处理了。当F检验结果为相差显著时，这只是对各组均数的整体而言，至于哪些均数间的差别显著，哪些不显著，还要作如下进一步分析。

　　本例检验结果为相差显著，这里我们先用较为简单而实用的最小显著差数法来比较三组中每两组均数间的差别是否显著，然后介绍q值法。

　　1．最小显著差数法

　　（1）计算最小显著性差数D_α，ν

　　D_{α，ν＝t，　(8.8)}

　　式中t，由附表3查得，查时自由度ν用方差分析表中组内变异的自由度，本例为9；α即显著性水准，常用0.05或0.01，本例查得两个临界t值即t_0.05,9=2.262，t_0.01,9=3.250。标准误的计算公式是

　　　　　　　　　　　 (8.9)

　　S²_组内也即表8.2中的组内均方（也可叫误差均方）0.0348。n_A、n_B为所比较的两组的例数，本例各组例数都为4。现将数据代入式（8.9）、（8.8）求得

　　（2）用上述的最小显著性差数与每两组均数的相差数比，若后者大于前者（临界值），便相差显著，若小于前者，为相差不显著。现将两均数间的比较结果列于下表。

表8.3　均数间两两比较

　　注：表中X_A-X_B两侧的直杠是绝对值符号。