剑桥大学与哥本哈根大学的研究人员近期通过深入的数学分析，揭示了一个引人深思的结论：任何选举国家立法机构的方法都无法实现“完美公平”，而是在区域代表性、全国比例性和议会席位总数之间进行复杂的权衡。 他们的研究发现，所有现行的选举制度都不可避免地涉及妥协。

选举制度面临日益增长的压力

在过去十年中，北欧地区的几次选举已充分展现了这些内在的张力。随着选民支持的政党数量日益增多，政治碎片化趋势加剧，这一问题变得尤为突出。

例如，在2022年的丹麦大选中，尽管该国采用比例代表制，但左翼阵营在获得的选票总数少于右翼阵营的情况下，却赢得了选举。在德国，为了同时维护地方代表性和全国比例性，联邦议院的席位在2021年一度急剧扩张至736席（原为598席），直至2023年引入改革措施。而在英国，2024年大选产生了该国历史上比例失调最严重的结果：工党在获得33.7%选票的情况下，却赢得了650个议席中的411席，占比高达63%。

尽管一个完全“公平”的选举制度可能并不存在，但研究人员认为，各国仍能更有效地管理区域代表性、比例性和议会规模之间的冲突。他们的研究成果已发表在《运筹学年鉴》（Annals of Operations Research）上。

启发研究的丹麦选举

这项研究项目始于2022年丹麦全国大选之后，当时该国的选票与席位分配比例在75年来首次出现不符。

与许多欧洲国家一样，丹麦采用两级制或比例代表制。选民首先选举地方代表，然后通过分配额外的“平衡席位”（leveling seats），使各党派在议会中的席位份额更接近其全国得票份额。

然而，随着政治支持分散到更多党派，维持比例性所需的“平衡席位”数量也随之增加。2022年，丹麦有40个这样的平衡席位，但这一数量已不足以产生完全符合比例的结果。

“从本质上讲，这几乎让整个系统崩溃了，”该研究的合著者、剑桥大学纯数学与数理统计系的弗雷德里克·拉文·克劳森（Dr Frederik Ravn Klausen）博士表示。“最终结果是，社会民主党比其应得的票数多了一个席位。当然，这与英国的标准相比微不足道，但在两级制系统中，这种情况本不应发生。正是这个单一的席位决定了选举结果，增加了戏剧性。”

克劳森博士与哥本哈根大学的塞巴斯蒂安·蒂姆·霍尔德姆（Sebastian Tim Holdum）共同提出了一个“不可能定理”，证明了日益加剧的政治碎片化如何使选举制度承受越来越大的压力，其后果甚至能直接影响执政者的归属。

三个难以共存的目标

研究人员比较了世界各地的选举制度，包括英国的“简单多数制”（first-past-the-post）模式和欧洲大部分地区使用的比例代表制。

他们识别出许多人认为“公平”系统所具备的三个核心特征：

• 区域性（Regionality）： 所有赢得地方席位的候选人都能保留其席位。
• 比例性（Proportionality）： 全国席位总数与全国得票份额相匹配。
• 固定议会规模（Fixed parliament size）： 议会席位数量在每次选举中保持不变。

“我们发现，一旦政党数量达到一定程度，这三个要素中的一个就必须做出让步，否则数学上根本无法成立，”克劳森博士解释道。“这不是腐败或阴谋，这纯粹是数学问题。”

各国如何做出不同的妥协

各国政府为了应对这一数学上的制约，选择了牺牲其中一项原则。

在德国，由于维持比例性所需的平衡席位持续增加，联邦议院的席位在2021年从598席扩大到736席。尽管2023年引入的改革措施阻止了议会无限期扩张，但同时也取消了对所有地方获胜者都能进入议会的保证。瑞典也采用了类似的方法。

英国则做出了不同的权衡。在其“简单多数制”下，比例性是最常被牺牲的原则。

在过去一个世纪的大部分时间里，英国政治主要以两党制运作。然而，随着更多政党的出现并在政治光谱中获得显著支持，选票与席位之间的差距变得越来越明显。

在2024年的大选中，改革党（Reform UK）获得了全国14.3%的选票，但在650个席位中仅获得了5席。相比之下，工党以33.7%的选票赢得了411席。

“在下一次英国大选中，选票与席位的失配可能会更大，”克劳森博士预测。

几个前英国殖民地继承了相同的选举模式，也面临着改革的压力。加拿大尽管多次尝试改革，但仍保留了“简单多数制”。新西兰在1993年采用了比例代表制，但新西兰众议院的议会规模并非固定不变。

一项实现更公平选举的数学提案

克劳森博士和霍尔德姆还提出了一种可能替代现有制度的算法，并得到了他们的数学分析支持。这项名为“地理排名保证比例性”（geographically ranked guaranteed proportionality）的算法，旨在解决现有选举制度中固有的某些局限性。

根据这项提案，每个党派的全国席位总数将完全由其总得票份额决定。因此，一个获得20%选票的党派将获得20%的席位，无论这些选票是在何处投出的。

然后，根据每位候选人在地方选区的表现强度对各个选区进行排名。席位将按照该排名从高到低依次分配，直至每个党派填满其全国分配的配额。

这种方法将保证比例性，但会削弱区域性。 即使一位候选人在地方选区轻松获胜，如果其党派已通过其他地方表现更强的候选人填满了配额，他仍可能无法进入议会。

没有完美系统，但可以有更好的系统

“我们的研究结果表明，尽管英国对比例代表制的讨论日益增多，但世界上并不存在‘完美’的选举制度，”克劳森博士总结道。“然而，我们仍然可以说，有些系统的表现优于其他系统。必须牺牲比例性、区域性或固定议会规模中的一项，这并非借口。人们可以近似地实现这三个原则，但许多系统未能做到这一点。”

这些发现表明，数学上的限制无法消除，但这并不妨碍各国设计出能更成功地平衡这三个相互竞争目标的选举制度。